Кейсы профориентационного содержания

Перед проблемой выбора будущей профессии рано или поздно оказывается любой школьник. Задача учителя-предметника, в том числе и учителя математики состоит в том, чтобы ознакомить учащихся с различными специальностями и показать необходимость изучения данной дисциплины для будущей профессии. Для решения этой задачи учитель может использовать кейсы профориентационного содержания.

Их разработка должна осуществляться в несколько этапов:

•  выбор современной и интересной для школьников профессии (рейтинг можно составить заранее, проведя опрос обучающихся);
• отбор содержания и практического применения математики в конкретной профессии;
• определить темы, в которых реализуется данное содержание;
• сформулировать задачи, которые будут содержаться в кейсе, разработать необходимый справочный материал или приложения;
• определить критерии оценивания и время, отводимое на решение кейса.

Представим несколько кейсов с профориентационным содержанием. «Вы главный инженер кадастровой службы. У вас имеется заказ на подписание кадастра.

Согласно СНиП 30-02-97 собственник участка площадью от 6 соток имеет право возвести следующие строения:

• жилое здание (коттедж, дом);
• уличный туалет;
• хозяйственные сооружения (гараж, сарай, баня, летняя кухня и прочее);
• компостную яму.

Участок огораживают забором, к которому также выдвигают особые требования. При создании проекта строительства часто берут за основу планировку соседних участков. Планировка соседнего участка, показана на рисунке 1.

Нормативы расположения строений на участке:

• площадь дачного или жилого дома не ограничена;
• если здание имеет общую площадь до 500 м², местные власти уведомляют о планах и о завершении строительства;
• если квадратура превышает 500 м², разрабатывается проект, проводится экспертиза, а после завершения строительства объект вводится в эксплуатацию;
• от дома до забора должно быть не менее 3 м;
• от дома до уличного душа, туалета, бани расстояние составляет минимум 8 м;
• от скважины (колодца) до компостной ямы (туалета) расстояние составляет минимум 8 м.

Рисунок 1 – Планировка соседнего участка

При создании фундамента жилой постройки важно соблюдать расстояние до инженерных коммуникаций (инженерные коммуникации – это общее название сложных систем, которые обеспечивают оптимизацию работы и проживания человека в определенных зданиях или территориях. К ним можно отнести электричество или водоснабжение).

До водопровода и канализации расстояние составляет 5 м. Гараж от забора должен располагаться на расстоянии 1 м и дальше, аналогично с теплицей и другими хозяйственными постройками.

Параметры:

• длина каждого забора – 26 м;
• по диагонали участка проходит водопроводная труба длиной 48 м;
• к середине водопроводной трубы, присоединена вторая труба, которая доходит до угла участка и ее длина неизвестна;
• баня размером 5×4 м;
• дом размером 4×10 м;
• дом расположен справа от соседнего участка. План участка, изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 – План участка

Задание. Нужно рассчитать все параметры дома, бани, участка (найти длину второй водопроводной трубы) и, если нужно, исправить план. Постройте схему правильного расположения на участке построек и обоснуйте, приложив к схеме свои расчеты.

Работа туристическим гидом включает в себя не только знания о достопримечательностях местности, где проходит экскурсия, но и умение планировать мероприятия по времени пребывания туристов на маршруте (длительность маршрута) и затрате сил на его преодоление.

Опишем разработку данного задания. Так как с профессией определились, то нужно переходить ко второму этапу – отбору математического содержания, связанного с данной профессией. Сфера туризма требует не только познаний в географии и истории стран, но и хороших навыков в математике и аналитике.

После анализа различных туристических сайтов, описаний туров сделан вывод о том, что расчет времени в пути, рекомендаций по возрастной категории, необходимости остановок зависит от знания некоторых математических формул. Задача сосредоточена вокруг определенной местности, упоминается изменение ландшафта и смена способа передвижения, связанная с этим, поэтому прослеживается межпредметная связь (без применения задач и специфических понятий) с географией.

Далее определим темы, используемые в ходе решения кейса: текстовые задачи на движение, понятие среднего арифметического чисел (изучение понятия начинается в 5 классе, более сложные задания в теме прикладной математики, комбинаторики рассматриваются в 9 классе), задачи прикладного характера (9 класс).

Поднимаются вопросы расчета скорости движения и времени в пути. Кроме того, в диаграмме указано количество часов в походе, но не конкретное время суток, чтобы не привязывать график движения ко времени отправки, поэтому уместно использовать задачи на подсчет времени (например, дано количество часов и время отправки, рассчитать время прибытия в определенную точку).

Также график похода не может существовать отдельно от карты, в качестве практико-ориентированной задачи решено взять сопоставление трех графических элементов: диаграммы, таблицы и изображения (карты местности). Очевидно, что последний пункт допустимо заменить на любую карту, которая более актуальна для темы урока, например, на карту маршрута по Уральским горам или архитектурным памятникам какого-либо города.

Итак, содержание кейса. Представьте, что вам предстоит отправиться в качестве туристического гида с группой туристов в горное поселение, путь до которого лежит через непростую местность. Скорость вашего пути будет постоянно меняться, и вы будете вынуждены останавливаться для отдыха так, чтобы быть на месте вовремя.

Много времени ушло на то, чтобы составить приблизительный график пути на основании данных людей из вашей группы (возраст, физическая подготовка, туристический опыт, личные пожелания, безопасность и другие параметры). Ниже приведен график зависимости пройденного пути от времени в походе.

На рисунке 3 разным типом штриховки отмечен путь до места отдыха и места возвращения (штриховкой, выполненной наклонными линиями, половина пути и точечной заливкой – вторая).

Ответьте на несколько вопросов.

• какая скорость будет у группы с 7 до 8 часов пути?
• сколько остановок было сделано группой? Как вы поняли по графику, когда были привалы?
• с какой средней скоростью будет двигаться группа с 0 до 9 часов пути? С какой средней скоростью с 16 до 24?
• в какой промежуток времени группа прервалась на сон?
• на обратном пути группа ехала на велосипедах, на одном из участков пришлось идти пешком, какое расстояние и с какой скоростью группа прошла пешком?

Рисунок 3 – График движения туристов

Данный график был построен на основании уже имеющегося маршрута. На пути были остановки и места для сна. Далее, на рисунке 4, показана карта местности, а в таблице 1 – расстояния между стоянками и местами старта и финиша. Подберите маршрут, соответствующий графику.

Таблица 1 – Расстояние между стоянками и местами старта и финиша

Обозначьте на карте точки, чтобы получить готовый маршрут.

Рисунок 4– Карта местности

Профессиональная сфера: инженерия. Класс: 7–9. Дисциплина: математика. Тема: обобщение курса геометрии.

Содержание кейса:

• описание профессии инженера-проектировщика, его задач и навыков;
• формулировка входных данных задачи (чертеж, параметры элементов чертежа, физические параметры);
• постановка вопросов к входным данным;
• особенности выполнения задания.

В задании представлены чертежи двух мостов в соответствии с поставленными вопросами. На основании имеющихся знаний по геометрии и алгебре учащимся предлагается ответить на несколько вопросов, например: «Какой длины требуются тросы для 1 и 2 варианта чертежа?», «Чему равно расстояние между полосами движения моста № 2 и чему равен радиус сваи?». Для ответов на вопросы предоставлены дополнительные сведения о конструкции моста. Также в кейсе можно проследить межпредметные связи математики и физики (понятие грузоподъемности), математики и географии (понятие
масштаба).

Для того чтобы было возможно ответить на дополнительные вопросы, которые могут поступить от учащихся, необходимо подготовить дополнительный материал о данной сфере деятельности или иметь список ресурсов, где можно эту информацию получить. Кейс может быть адаптирован под определенный класс и тему занятия, разнообразие вопросов, поставленных в тексте задачи позволяет исключить или добавить необходимый материал для закрепления темы.

Например, для закрепления темы «Практические способы построение параллельных прямых» достаточно использовать фрагмент кейса, касающийся проектировки проезжей части, добавить вопрос о тросах, протянутых по диагонали или под определенным углом к дороге с расчетом точки, в которой они будут крепиться к мосту (актуализация знаний о признаках параллельных прямых).

Описание кейса «Инженерный проект “Мост в будущее”». Задача инженера состоит не только в том, чтобы построить какое-то сооружение, но и в предварительном выполнении чертежа плана и расчета всех возможных вариантов решения задачи, поставленной перед специалистом. Представьте, что ваша сегодняшняя задача – составить проект моста для транспорта различной массы.

Чертеж моста составлен в двух вариантах, к каждому из них имеется чертеж – виды моста (рисунки 5-8). Перед тем как ответить на вопросы заказчика, рекомендуется изучить особенности строения моста.

Чертеж построен в масштабе 1:100 м. Ширина первого моста составляет 34,5 метра. Ширина второго моста, включая расстояние между полосами движения, составляет 37,5 м.

Тросы, поддерживающие конструкцию, находятся в натяжении, поэтому за счет натяжения их длина может быть больше, чем в обычном состоянии. Поэтому, когда будет производиться расчет длины тросов, ответ можно округлить до целого числа, но только с недостатком, иначе тросы будут провисать и не оказывать поддержку мосту.

Рисунок 5 – Чертеж моста (вид спереди). Вариант 1

Рисунок 6 – Чертеж моста (вид сверху). Вариант 1

Рисунок 7 – Чертеж моста (вид спереди). Вариант 2

Рисунок 8 – Чертеж моста (вид сверху). Вариант 2

Трос, протянутый к мосту, выдерживает нагрузку до 100 кг. Если протянуто два троса, то вес, который выдержит трос увеличивается до 150 кг. Если протянуто три троса, то 225 кг и т. д. Каждый трос, протянутый до дороги (земли), оказывает поддержку в 200 кг, так как имеет иную плотность. Подпорки с каждой стороны моста выдерживают еще до 500 кг. Подпорки в виде дуги окружности образуют фигуру, как изображено на рисунке 9. Толстой линией на рисунке выделена часть целой окружности, радиус которой можно вычислить по чертежу на рисунке 5 или 7.

Рисунок 9 – Схематичное изображение подпорки моста

Расстояние между подпорками должно быть не менее 50 см, так как при высоких температурах они могут увеличиваться в размерах. Для каждой стороны моста необходимо 10 подпорок. На втором варианте моста установлены сваи для поддержки, делящие длину дороги на 2 равные части (рисунок 8). Сваи на рисунке показаны в виде окружности с центром в точке, расстояние от свай до земли одинаковое. Каждая свая увеличивает поддержку моста на 80 % от расстояния до земли в килограммах.

Вопросы заказчика

• какой длины требуются тросы для 1 и 2 варианта чертежа?
• вычислить ширину подпорки;
• какова площадь боковой стороны подпорки моста (в обоих вариантах подпорки одинакового размера)?
• какой максимальный вес выдержит мост № 1 и № 2 (округлить до десятых с недостатком)?
• какой из вариантов мостов выдерживает наибольший вес?
• чему равно расстояние между полосами движения моста №2 и чему равен радиус сваи?

Профессиональная сфера: экология, дизайн. Класс: 8. Дисциплина: математика. Тема: площади планиметрических фигур, составление и решение линейных уравнений.

Содержание кейса:

• описание профессии эко-дизайнера, его задач и навыков;
• формулировка входных данных задачи (описание ткани, продукта для разработки, свойств ткани, макет продукта, выкройки деталей);
• постановка вопросов к входным данным;
• особенности выполнения задания (округление результатов, вопросы к полученным результатам и др.).

Кроме профессии дизайнера и эколога, косвенно учащиеся знакомятся с некоторыми задачами военных профессий. Для работы учащимся предлагается ответить на несколько вопросов, например: «Какая площадь у лямок рюкзака в сумме? Сколько мА вырабатывает элемент при растяжении?» или «Через сколько часов будет полностью заполнен аккумулятор, если во время тренировки делается часовой привал каждые 4,5 часа пути?».

Данный кейс может быть адаптирован под более старшие классы за счет усложнения формулы расчета затрат энергии, исходя из напряжения тока и проводимости кабелей. Имеется возможность учесть электрические цепи внутри одежды и рюкзака, таким образом усиливая межпредметные связи с физикой.

Сегодня Вы сыграете роль дизайнера одежды для военных. Ваша задача – ответить на вопросы, необходимые для разработки модели рюкзака из пьезоэлектрической ткани. Пьезоэлектрическая ткань вырабатывает электричество при растяжении или сжатии нитей. Один квадратный метр такой ткани вырабатывает до 80 мА электричества. Из данной ткани планируется изготовление лямок рюкзака и внутренней части, прилегающей к спине. Предполагается, что при скорости 2-3 км/ч человек в таком рюкзаке способен вырабатывать около 45,6 мА/час. Чем выше вес груза в рюкзаке, тем меньше скорость человека и выше выработка энергии из-за растяжения лямок и внутренней части рюкзака, прилегающей к спине. Макет рюкзака представлен на рисунке 10.

• сколько метров пьезоэлектрической ткани из рулона потребуется на производство 10 рюкзаков?
• какая площадь у внутренней части рюкзака (спина)? Сколько мА вырабатывает элемент при растяжении?
• какая площадь у лямок рюкзака в сумме? Сколько мА вырабатывает элемент при растяжении?

• сколько мА будет накоплено в аккумуляторе за 1,5 часа движения?
• через сколько часов будет полностью заполнен аккумулятор, если во время тренировки делается часовой привал каждые 4,5 часа пути? Ответ перевести в количество дней;
• на сколько процентов уменьшится заряд аккумулятора после первой зарядки батареи?
• через сколько часов потребуется использование р2?
• через сколько часов будет полностью потеряна связь через р1 и р2 в сумме?

На рисунке 12 изображена выкройка фартука и его размеры, рассчитайте площадь куска ткани, потребовавшейся на изготовление одного изделия, если на припуски на швы требуется еще 2 см ткани по контуру. Сколько ткани потребуется на изготовление партии из 50 изделий? (8 класс).

В аккумуляторах, встроенных в разработанные рюкзаки, имеются катушки из медной проволоки. Они имеют сопротивление R = 10,8 Ом. Масса медной проволоки m = 3,41 кг. Какой длины и какого диаметра проволока намотана на катушке (8 класс).

С продажи каждого рюкзака 10 % от стоимости отправляется в фонд защиты окружающей среды. Собственная стоимость одного рюкзака 2500 рублей, к этой стоимости прибавляется 13 % надбавка для того, чтобы покрыть затраты на продажу (заработная плата работников, транспортировка и др.). За месяц в городе N было продано 18 000 рюкзаков, какая сумма была получена компанией, производящей изделия? Сколько рублей получил фонд защиты окружающей среды (9 класс)?

Рисунок 12 – Выкройка фартука

Профессиональная сфера: медицина.

Сейчас вам предстоит встать на место кардиолога и понять, все ли в порядке с сердцем человека, который к вам обратился. С помощью специальной записи биения сердца можно определить, есть ли у человека какиелибо нарушения ритма. Рассмотрим пример кардиограммы человека (рисунок 13) и попытаемся определить его основные показатели.

Рисунок 13 – Кардиограмма

Для того чтобы что-либо рассчитать, недостаточно только рассмотреть изображение, если обратить внимание, то можно заметить, что поле поделено на клетки (контур клеток обведен толстой линией), а они, в свою очередь, еще на 25 клеток (тонкие прямые) (рисунок 14).

Рисунок 14 – Часть кардиограммы при увеличении

Все скачки и зубцы на графике означают сокращения сердца, их частоту можно посчитать по клеткам. Одна маленькая клетка на графике означает 0,02 секунды, большие клетки в длину составляют 5×0,02 секунды.

Рисунок 15 – Обозначения показателей кардиограммы

Нормальные показатели:

• частота сердечного ритма (интервал RR) у здорового человека находится в пределах от 60 до 100 ударов в минуту;
• интервал PR в норме составляет от 0,12 до 0,2 секунд;
• зубец Р показывает степень сокращений предсердий и в норме составляет менее 0,11 сек;
• комплекс QRS показывает степень сокращения мышечного слоя и в норме составляет менее 0,1 сек;
• QR-интервал показывает «перезарядку» сердца, когда мышцы расслабляются и готовятся к следующему удару, в норме составляет от 0,32 до 0,42 секунд.

Если какой-либо из показателей не будет соответствовать норме, это может значить какое-либо отклонение или заболевание человека.

Интервал RR отражает частоту сердцебиения, поэтому даже у здорового человека этот интервал может меняться, например, при сильном волнении пульс учащается, сильный шок замедляет пульс для экономии энергии на экстренный случай, и отклонение от нормы может сигнализировать о чем-то только при нарушении нескольких показателей.

В теле человека сокращение всех мышц происходит за счет отправки импульса из головного мозга, именно интервал PR показывает скорость передачи импульса для сокращения мышц сердца, если норма занижена, это значит, что сигнал передается быстрее обычного, и может быть следствием какой-либо патологии.

Зубец P показывает степень сокращения предсердий, то есть мышц, которые перекачивают кровь внутри сердца, уменьшение или увеличение может приводить к застою крови в сердце (при ослаблении) или недостаточному времени для транспортировки кислорода (при усилении).

Для определения любого заболевания необходимо сначала определить значения показателей на кардиограмме (рисунок 15). Все значения измеряются в секундах, напомним, что одна маленькая клетка (одно деление на схеме) отображает 0,02 секунды. Только частоту сердцебиения необходимо посчитать для 1 минуты.

Найдите значения следующих показателей и определите, в норме ли они:

• интервал RR – частоту сердечных сокращений (ЧСС);
• интервал PR;
• длину зубца Р;
• длину комплекса QRS;
• интервал QR.

Дайте заключение: в норме ли состояние сердца человека, исходя из его кардиограммы. Обратите внимание на то, изменяется ли интервал между зубцами R на всей кардиограмме (рисунок 12), нормально ли это?

Профессиональная сфера: строительство. Построен гараж размерами 6×7 м (рисунок 16). Как проверить, что это прямоугольник, а не параллелограмм, имея лишь рулетку? Каким свойством прямоугольника можно воспользоваться?

Рисунок 16– Размеры гаража

Изучив виды крыш на рисунке 17, определите, какой вариант крыши будет самым бюджетным

Рисунок 17 – Виды крыш

В зависимости от вида крыши у нее может быть разная конструкция (рисунок 18) и, соответственно, для ее возведения потребуется разное количество строительных материалов.

Выберите кровельный материал для покрытия конструкции крыши.  Для этого необходимо проанализировать данные из таблицы 1. Найдите цену за одну единицу (один лист) металлочерепицы.

Таблица 2 – Стоимость листового кровельного материала

Рисунок 18 – Особенности конструкций крыши

В зависимости от выбранного кровельного материала необходимо определить угол ската крыши (рисунок 19)

Рисунок 19 – Угол ската крыши

Затем необходимо определить высоту подъема фронтона крыши (рисунок 20).

Рисунок 20 – Нахождение высоты крыши

Осталось найти периметр и площадь крыши, чтобы узнать, какое точное количество листов металлочерепицы понадобится на крышу гаража. Для этого нужно знать, что нахлёст листов составляет 15–20 см.

Затем определите стоимость кровельного материала на всю площадь крыши. Чтобы закрепить листы металлочерепицы на деревянной конструкции, нужно приобрести саморезы. Подсчитайте их количество, если известно, что один кровельный саморез стоит 0,8 руб, а на 1 м2 крыши необходимо 10 штук.